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初中数学圆的知识点总结

2021-07-14 18:03数学学习
圆是我们学习初中数学中重要的知识点,下面是小编整理了初中数学有关圆的知识点,供大家参考。 一、圆及圆的相关量的定义 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定…

圆是我们学习初中数学中重要的知识点,下面是小编整理了初中数学有关圆的知识点,供大家参考。

初中数学圆的知识点总结

一、圆及圆的相关量的定义

1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。

2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。

5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。

6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

二、有关圆的基本性质与定理

1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离):P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r

2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。

3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。

8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。

9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO。

10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线。

11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P):外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r。

三、圆的方程

1.圆的标准方程

在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

2.圆的一般方程

把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2。

相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r。

四、圆的定理

1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

2.推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

3.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

4.定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。

5.定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。

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